J.3 浮点数

很多应用需要表示非整数。方法不止一种：可以采用定点表示，用整数算术运算，只需把二进制小数点想象成位于最低有效位右侧以外的某个位置。两个这样的数相加可用整数加法，乘法则需要额外移位。也有人提出存储一个数的对数，以对数相加代替乘法，或者用整数对 $(a,b)$ 表示分数 $a/b$ 。然而，得到广泛采用的非整数表示只有浮点表示。它把计算机字分为指数和有效数（significand）两部分。例如，指数为 −3、有效数为 1.5，可以表示 $1.5\times2^{-3}=0.1875$ 。统一一种表示的好处很明显：数值分析人员可以建立高质量的软件库，计算机设计者可以发展高性能硬件实现技术，硬件厂商也可以构建标准化加速器。浮点表示已经占据主导地位，其他表示似乎不大可能再得到广泛采用。

浮点指令的语义不像指令集其他部分那样明确。过去，不同计算机系列的浮点行为差别很大，涉及指数与有效数的位数、指数范围、舍入方式，以及下溢和上溢等异常情况的处理。计算机体系结构教材曾经需要就这些细节逐项提供建议，幸运的是，如今已无此必要：业界正迅速趋同于 IEEE 754-1985 标准规定的格式，它同时也是国际标准 IEC 559。采用统一浮点形式的好处，与统一采用浮点而非其他非整数表示的好处类似。

IEEE 算术与此前许多算术系统的主要区别如下：

把恰好处于两个浮点数中间的结果舍入到最近浮点数时，选择末位为偶数的那个。
包含特殊值 NaN、 $+\infty$ 和 $-\infty$ 。
用非规格化数（denormal）表示小于 $1.0\times2^{E_{\min}}$ 的计算结果。
默认舍入到最近值，但还提供另外三种舍入模式。
提供完善的异常处理机制。

第一点需要解释。两个浮点数运算的结果，通常不能由另一个浮点数精确表示。例如，在十进制、两位有效数字的系统中， $6.1\times0.5=3.05$ ，必须舍入到两位：应该是 3.0 还是 3.1？IEEE 标准把这种中点情况舍入到末位为偶数的数，因此 3.05 舍入为 3.0。标准共有四种舍入模式：默认的舍入到最近值，在中点时取偶数；另外三种分别向 0、向 $+\infty$ 、向 $-\infty$ 舍入。

其余区别将在后续各节展开。进一步阅读可参考 IEEE [1985]、Cody 等 [1984] 和 Goldberg [1991]。

特殊值与非规格化数

标准最醒目的特点，或许是在除以 0、对负数开平方等异常情况下，默认仍允许计算继续。例如，负数平方根的结果是 NaN（Not a Number，非数），它是一种不表示普通数值的位模式。设一个求零点程序接收函数 F，并在若干位置求值，以确定其零点。

如果程序不慎探测到 F 的定义域外，F 很可能引发异常。要处理这种情况，传统的求零点程序高度依赖语言和操作系统，因为它必须考虑操作系统如何响应异常，以及这种响应如何映射回程序设计语言。在 IEEE 算术中，很容易写出能处理这种情况、又可跨系统运行的求零点程序：每次计算 F 后检查返回值是否为 NaN；若是，就知道探测到了定义域外。

IEEE 算术规定，运算输入若为 NaN，输出也是 NaN，例如 $3+\mathrm{NaN}=\mathrm{NaN}$ 。因此，编写能够接受 NaN 参数的浮点子程序，通常无需增加特殊检查。比如用

\arccos x=2\arctan\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}

计算反余弦，只要 arctan 能正确处理 NaN，arccos 也会自动正确处理。因为若 $x$ 为 NaN，那么 $1+x$ 、 $1-x$ 、 $(1+x)/(1-x)$ ，以及 $\sqrt{(1-x)/(1+x)}$ 也都是 NaN，无需逐一检查。

译注：此处列举的商在原文中写成 $(1+x)/(1-x)$ ，与公式根号内的分子、分母次序相反；两者都会传播 NaN，所以不影响本段说明。

虽然 $\sqrt{-1}$ 是 NaN， $1/0$ 却不是，而是另一个特殊值 $+\infty$ 。标准定义了正、负无穷的算术规则，例如 $1/\infty=0$ 。上述反余弦公式也说明了它的作用：当 $x\to\infty$ 时， $\arctan x\to\pi/2$ ，因此自然可定义 $\arctan(\infty)=\pi/2$ 。这样， $\arccos(-1)$ 自动得到正确结果 $2\arctan(\infty)=\pi$ 。

最后一类特殊值是非规格化数。很多浮点系统中，若最小指数为 $E_{\min}$ ，则小于 $1.0\times2^{E_{\min}}$ 的数无法表示，运算产生这种结果时会直接置零。IEEE 标准则用小于 1 的有效数表示它们，称为渐进下溢（gradual underflow）：数值降到 $2^{E_{\min}}$ 以下时，精度逐渐减少，直到所有有效位都被移出才变为 0。例如，在四位有效数字的十进制系统中，令 $x=1.234\times10^{E_{\min}}$ ，则 $x/10$ 舍入为 $0.123\times10^{E_{\min}}$ ，损失一位精度； $x/100$ 舍入为 $0.012\times10^{E_{\min}}$ ， $x/1000$ 为 $0.001\times10^{E_{\min}}$ ，直到 $x/10000$ 才足够小而舍入为 0。

非规格化数保留了 $x=y\iff x-y=0$ 这样的熟悉性质，使小数值运算更可预测。例如，仍用四位有效数字的十进制系统，若 $x=1.256\times10^{E_{\min}}$ 、 $y=1.234\times10^{E_{\min}}$ ，则 $x-y=0.022\times10^{E_{\min}}$ 。直接置零的系统会把它变成 0，于是 $x\ne y$ ，计算结果却是 $x-y=0$ 。渐进下溢不会如此：这个差是可表示的非规格化数，所以减法结果精确。

浮点数的表示

IEEE 单精度用 32 位存储：1 位符号、8 位指数、23 位小数部分。指数是有符号数，采用 J.2 节介绍的移码表示，偏置为 127。偏置指数指第 1 至第 8 位的指数域中存储的无符号数；无偏置指数，或简称指数，指 2 的实际幂次。小数域表示小于 1 的数，而浮点数的有效数是 1 加上这部分。若偏置指数为 $e$ ，小数域为 $f$ ，则其数值大小为 $1.f\times2^{e-127}$ 。

例题　下列 32 位字表示什么单精度数？

1 10000001 01000000000000000000000

解答　指数域作为无符号数为 129，因此实际指数是 $129-127=2$ 。小数部分为 $.01_2=.25$ ，有效数为 1.25。符号位为 1，所以表示 $-1.25\times2^2=-5$ 。

不要把小数部分（本例为 .25）与有效数混淆；有效数是 1 加小数部分。 $1.f$ 的首位 1 不出现在存储表示中，是隐含位。对 IEEE 格式数运算时，通常先把小数部分解包（unpack），也就是将隐含的 1 显式补出。

参数	单精度	扩展单精度	双精度	扩展双精度
$p$ ，精度位数	24	≥32	53	≥64
$E_{\max}$	127	≥1023	1023	≥16383
$E_{\min}$	−126	≤−1022	−1022	≤−16382
指数偏置	127		1023

图 J.7　IEEE 754 浮点标准的格式参数。第一行给出有效数的位数；空白项为标准未指定的参数。

单精度指数范围为 −126 到 127，对应偏置指数 1 到 254。偏置指数 0 和 255 用于特殊值，如图 J.8。偏置指数为 255 时，小数域为 0 表示无穷，非零表示 NaN，因此 NaN 并不只有一种位模式。

指数	小数域	表示的值
$e=E_{\min}-1$	$f=0$	$\pm0$
$e=E_{\min}-1$	$f\ne0$	$0.f\times2^{E_{\min}}$
$E_{\min}\le e\le E_{\max}$	任意	$1.f\times2^e$
$e=E_{\max}+1$	$f=0$	$\pm\infty$
$e=E_{\max}+1$	$f\ne0$	NaN

图 J.8　特殊值的表示。指数域编码对应的指数落在 $E_{\min}\le e\le E_{\max}$ 之外时，按表中规则作特殊解释。数值的正负另由符号位给出。

偏置指数与小数域都为 0 时，表示 0。由于普通数含有隐含首位 1，有效数总是不小于 1，因此必须另作约定来表示 0。非规格化数则用指数域为 0 的字表示 $0.f\times2^{E_{\min}}$ 。

IEEE 标准与多数浮点格式采用偏置指数，主要因为这能使非负浮点数的编码顺序与整数顺序一致，从而可用整数比较器比较浮点数大小。另一个相关好处是，全 0 的字表示数值 0。缺点是指数相加稍显麻烦：必须从偏置指数之和中减去一次偏置。