# J.5 浮点加法 浮点运算通常接收两个 \(p\) 位精度的输入，返回 \(p\) 位结果。理想算法先精确执行运算，再按当前舍入模式舍入到 \(p\) 位。上一节的乘法正是如此。实现 IEEE 算术的硬件必须给出与理想算法相同的结果，却不一定真的执行理想算法；加法就有更好的方法。 先看 6 位二进制数 \(1.10011_2\) 与 \(1.10001_2\times2^{-5}\) 相加。对阶后为 ```text 1.10011 + .0000110001 ``` 用 6 位加法器、暂时丢弃第二加数的低位，得到 ```text 1.10011 + .00001 ---------- 1.10100 ``` 第一个被丢弃的位为 1，但仅凭它无法判断是否进一，还需检查余下的 `0001`。其实只要像乘法那样用 sticky 位记录其中是否有非零位即可。因此，两个 \(p\) 位数相加，用 \(p\) 位加法器已足够，只需另存第一个丢弃位（舍入位），以及其余丢弃位的 OR（sticky 位），再按图 J.11 判断。本例 sticky 为 1，需要进一，最终为 \(1.10101_2\)。 再看： ```text 1.11011 + .0101001 ``` 6 位加法器得到： ```text 1.11011 + .01010 ---------- 10.00101 ``` 由于左侧产生进位，舍入位不再是第一个被丢弃的位，而变成和的最低位 1。丢弃的 `01` 作 OR 得 sticky=1。两者均为 1，所以和的高 6 位 \(10.0010_2\) 应进一，结果为 \(10.0011_2\)。 再看减法： ```text 1.00000 − .00000101111 ``` 最简单的计算方式是把 \(-.00000101111_2\) 转成补码，使差变成和： ```text 1.00000 + 1.11111010001 ``` 6 位加法器得到： ```text 1.00000 + 1.11111 ---------- 0.11111 ``` 最高位抵消后，必须把第一个丢弃位，即保护位，补到结果的最低端，得到 \(0.111110_2\)；第二个丢弃位则成为舍入位。这与乘法算法的情况 (1) 相似。舍入位为 1 还不足以作决定，剩余 `0001` 的 OR 给出 sticky=1，所以最终进一为 \(0.111111_2\)。可见，减法抵消最高位时，需要一个保护位。若最高两位都抵消，是否就需要两个保护位？不需要。如果 \(x,y\) 足够接近，以至于差的最高两位抵消，那么 \(x-y\) 会是精确的，根本不需要保护位。 加法比乘法复杂，是因为它可能因操作数符号而实际变成减法。加法可能在左侧产生进位；减法可能发生抵消；两者都会改变舍入位的位置。不过，无需先求精确和再舍入，只要用最高 \(p\) 位的和，以及舍入位、sticky 位，就能确定结果。 下面详细给出浮点加法算法。令两个加数为 \(a_1,a_2\)，指数和有效数分别为 \(e_i,s_i\)。输入已经解包，因此 \(s_i\) 含显式首位。算法分八步： 1. 若 \(e_1 译注：第 6 步的赋值应按调整前的 \(g,r,s\) 同时计算，不能先覆盖 \(r\) 再计算 \(s\)。原书“左移至少两次只会发生于指数相同”过于严格：指数相差 1 也可能严重抵消，例如 \(1.000_2\times2^0-1.111_2\times2^{-1}=0.0001_2\)；该差同样精确，故置 \(r=s=0\) 的处理仍适用。 | 第 1 步交换？ | 第 4 步取补码？ | 原 \(a_1\) 符号 | 原 \(a_2\) 符号 | 结果符号 | |---|---|---|---|---| | 是 | 任意 | + | − | − | | 是 | 任意 | − | + | + | | 否 | 否 | + | − | + | | 否 | 否 | − | + | − | | 否 | 是 | + | − | − | | 否 | 是 | − | + | + | 图 J.12　两加数异号时的结果符号规则。swap 指第 1 步交换操作数，compl 指第 4 步取补码；“任意”对应原表的空白项，即无关条件。 {#fig-J.12 .wide .expand num="J.12"} **例题**　用上述算法计算 \((-1.001_2\times2^{-2})+(-1.111_2\times2^0)\)。 **解答**　初始 \(s_1=1.001,e_1=-2,s_2=1.111,e_2=0\)。 1. \(e_1 译注：原页末式右侧漏了负号；与题目及本步文字一致的结果应为 \(-1.001_2\times2^1\)。 **例题**　计算 \((-1.010_2)+1.100_2\)。 **解答**　\(s_1=1.010,e_1=0,s_2=1.100,e_2=0\)。 1. 不交换，\(d=0\)，暂定指数为 0。 2. 异号，把 \(s_2\) 替换成补码 0.100。 3. \(d=0\)，不移位，\(r=g=s=0\)。 4. \(1.010+0.100=1.110\)。异号、最高位为 1、无进位，因此对和取补码，得 S=0.010。 5. 左移两位，S=1.000，指数减为 −2。 6. 左移两次，\(r=g=s=0\)。 7. 舍入不需要加 1。 8. 结果为 \(\text{sign}\times1.000\times2^{-2}\)。查图 J.12：取过补码、未交换、原 \(a_1\) 为负，所以结果为正，即 \(1.000_2\times2^{-2}\)。 ## 加速加法 估算上述算法的时间：第 2 步可能需要一次加法，第 4 步需要一到两次，第 7 步可能再需一次。若 \(p\) 位加法耗时 T，单精度 \(p=24\)、双精度 \(p=53\)，看起来至少需要 4T。但这过于悲观：第 4 步若需两次加法，两输入必然同指数、异号，差是精确的，第 7 步无需进一，所以最多三次加法。 同样，第 3、5 步似乎各需一次可变移位，但若 \(|e_1-e_2|\le1\)，第 3 步最多右移一位，只有第 5 步需要可变移位；若 \(|e_1-e_2|>1\)，第 3 步需要可变移位，第 5 步却最多左移一位。因此最多只执行一次可变移位。即便如此，三次串行加法对 53 位双精度有效数来说仍很耗时。 加速方法之一是流水线，J.10 节会介绍商业芯片实例。另一种是并行进行两次加法，Intel 860 就采用了它 [Kohn and Fu 1989]；下面说明它如何把延迟从 3T 降为 T。 分三种情况。首先，两操作数同号，需要合并第 4、7 步。第 4 步是否产生进位尚不确定，因此和的最高位位置未知；用两个加法器分别覆盖两种可能。第一个假定无进位，因而可事先算出 \(r,s\)。若应进一，计算 \(S=s_1+s_2+1\)，其中加 1 的位置是 \(s_1\) 的最低位，可通过把普通加法器的最低进位输入置 1 实现；否则照常计算 \(S=s_1+s_2\)。若 \(r=1,s=0\)，还需知道和的最低位，它也能很快预先算出。第二个加法器假定会进位，此时 \(r,s\) 和加 1 的位置不同，但也能事先算出。究竟是否有进位，要到加法完成后才知道；两个加法器并行运行，必有一个产生正确答案。 其次，两输入异号、同指数。此时和精确，无需舍入，但结果符号要等加法结束才知道。不要在第 2 步先取补码，因为那要一次加法；改为并行计算 \(\bar s_1+s_2+1\) 与 \(s_1+\bar s_2+1\)。前者把对 \(s_1\) 取补码与求和合并，得到 \(s_2-s_1\)；后者得到 \(s_1-s_2\)。 其中一个非负，就是最终结果的绝对值。这样，所有加法仍由两个并行加法器在一步完成。 最后，两输入异号、指数不同，情况更复杂。若 \(|e_1-e_2|>1\)，差的首位仅可能在两个位置之一，类似普通加法。若 \(|e_1-e_2|=1\)，可能发生抵消，首位几乎可以出现在任何位置；不过，只有差的首位与 \(s_1\) 首位同位置时才可能需要进一。因此，一个加法器假定需要进一，另一个假定不需要，即可合并第 4、7 步。但第 2 步的加法怎么办？ 考虑第 4 步中两个操作数的对齐关系： ```text ←── p 位 ──→ s₁ 1.xxxxxxx s₂ − 1yyzzzzz ``` 若标为 z 的位全为 0，\(S=s_1-s_2\) 的高 \(p\) 位可用 \(s_1+\bar s_2+1\) 算出；若至少一个 z 为 1，则用 \(s_1+\bar s_2\)。因此一次加法就能得到差，但仍需取得 \(s_2\) 补码对应的 \(g,r\)，供第 7 步舍入。 为此，将第 2、4 步合并：第 2 步不对 \(s_2\) 取补码；把加法器向右扩展两位，扩展的和记为 \(S'\)。在 \(s_1\) 右侧补两个 0 得 \(s_1'\)，在 \(s_2\) 后附上初步的 \(g,r\) 得 \(s_2'\)。若第 3 步得到的初步 sticky 为 1，计算 \(S'=s_1'+\overline{s_2'}\)；若 sticky 为 0，则计算 \(s_1'+\overline{s_2'}+1\)。现在，\(S'\) 的最低两位就是正确的 \(g,r\)，sticky 已在第 3 步正确算出。再与第 4、7 步的合并方法结合，就能在一次加法时间 T 内得到结果。 还有一些细节，见 Santoro、Bewick 与 Horowitz [1989] 及习题 J.17。该论文虽针对乘法，但很多讨论同样适用于加法。习题 J.19 还给出了另一种符号—数值形式的加法方法。 ## 非规格化数 与乘法不同，即使一个输入为非规格化数，以上加法算法也几乎不变。只需检测指数域是否为 0；若为 0，解包有效数时不补首位 1，并把内部偏置指数置为 1，算法其余部分照常运行。 处理非规格化输出时，第 5 步略作修改：左移 S，直到规格化，或指数达到 \(E_{\min}\)，即偏置指数为 1。若指数为 \(E_{\min}\)，且舍入后 S 的最高位为 1，结果仍是规格化数，按通常方式打包，省去首位 1。 若最高位为 0，则结果是非规格化数，存回格式时指数域应置 0。J.7 节将讨论检测下溢的精确规则。 > 译注：原文此处写“结果解包时”（unpacked），但语境是把内部结果编码回浮点格式，即打包；译文据此表述，并保留此说明。 上溢很容易检测：只有第 5 步右移时，偏置指数被增至单精度的 255、双精度的 2047，或者舍入后发生同样情况，才会出现上溢。